操作していないのに勝手にスリープモードになってしまいます。

ホールセンサー（磁気センサー）付近に磁石などが近づいていませんか？

Xperia 10 IIIには図の位置にホールセンサーという磁気を検出するセンサーが埋め込まれています。
裏面で示すと、左側から内側に約1.5センチ入って、一番下のレンズ下端から約1センチ下がった位置になります。
このホールセンサーに、磁石（スマホカバーの留め具の磁石、カバンの留め具の磁石、磁気ネックレスなど）が近づくとその磁気を検出してXperiaがスリープモードになることがあります。

スリープモードにしたくない状態でお使いの際は、この付近に磁気を持つものを近づけないようにご注意ください。磁気の強さによって検出する範囲が異なります。