ILME-FX6Vは、Wi-Fi AP Modeと有線LANアダプタ(別売)を使った接続は、同時に使用することが出来ますか？

可能です。

Wi-Fi AP Modeで動作中のILME-FX6に対して、スマートフォンがWi-Fi接続している状態の時に、有線LANアダプター（別売）を使ってRouterなどとの接続が確立すると、「The IP address of the Wireless LAN Access Point Mode has been changed due to an IP address conflict.」 という表示が出ることがあります。
この表示が出た時には、Wi-Fi AP Modeで接続中のスマートフォンとILME-FX6の通信が切断している可能性があります。
Content Browser Mobile上で切断しましたと表示が出ていたり、リモコン・モニタリング機能が正常に動作しない場合には、スマートフォン側でWi-Fi機能のOff→Onを実施するなどして、ILME-FX6に対して再度Wi-Fi接続を行ってください。