新着通知があってもアプリにアイコンバッジがつきません。

アイコンバッジの「表示／非表示」は、各ホームアプリの仕様に依存します。
プリセットの「Xperiaホーム」を利用されている場合はデスクトップ長押しで表示されるメニューから「ホームの設定」を選択後表示される設定内の「通知ドット」がONになっているかを確認してください。

OFFの場合、「通知ドット」→「通知ドットの許可」をONに変更してください。